2024年12月 GESP C++ 五级

第 1 题

下面关于链表和数组的描述，错误的是（{{ select(1) }}）。

• 当数据数量不确定时，为了应对各种可能的情况，需要申请一个较大的数组，可能浪费空间；此时用链表比较合适，大小可动态调整。
• 在链表中访问节点的效率较低，时间复杂度为 $O(n)$。
• 链表插入和删除元素效率较低，时间复杂度为 $O(n)$。
• 链表的节点在内存中是分散存储的，通过指针连在一起。

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第 2 题

在循环单链表中，节点的 next 指针指向下一个节点，最后一个节点的 next 指针指向（{{ select(2) }}）。

• 当前节点
• nullptr
• 第一个节点
• 上一个节点

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第 3 题

为了方便链表的增删操作，一些算法生成一个虚拟头节点，方便统一删除头节点和其他节点。下面代码实现了删除链表中值为 val 的节点，横线上应填的最佳代码是（ ）。

struct ListNode {
    int val;
    ListNode* next;
    ListNode(int val):val(val), next(nullptr){}
};

void removeElements(ListNode* head, int val) {
    if (head == nullptr) {
        return;
    }
    ListNode* cur;
    ListNode* dummyHead = new ListNode(0); //虚拟头节点
    // 在此处填入代码

    while(cur ->next != nullptr) {
        if(cur->next->val == val) {
            ListNode* tmp = cur->next;
            cur->next = cur->next->next;
            delete tmp;
            tmp = nullptr;
        }
        else {
            cur = cur ->next;
        }
    }
    head = dummyHead->next;
    delete dummyHead;
    dummyHead = nullptr;
}

{{ select(3) }}

• dummyHead->next = head; cur = dummyHead;
• dummyHead->next = head->next; cur = dummyHead;
• dummyHead->next = head; cur = dummyHead->next;
• dummyHead->next = head->next; cur = dummyHead->next;

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第 4 题

对下面两个函数，说法错误的是（ ）。

int fibA(int n) {
    if (n <= 1) return n;
    int f1 = 0, f2 = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        int temp = f2;
        f2 = f1 + f2;
        f1 = temp;
    }
    return f2;
}

int fibB(int n) {
    if (n <= 1) return n;
    return fibB(n - 1) + fibB(n - 2);
}

{{ select(4) }}

• 两个函数的实现的功能相同。
• fibA 采用递推方式。
• fibB 采用的是递归方式。
• fibA 时间复杂度为 $O(n)$，fibB 的时间复杂度为 $O(n^2)$。

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第 5 题

两块长方形土地的长宽分别为 $24$ 和 $36$ 米，要将它们分成正方形的小块，使得正方形的尺寸尽可能大。小杨采用如下的辗转相除函数 gcd(24, 36) 来求正方形分块的边长，则函数 gcd 调用顺序为（ ）。

int gcd(int a, int b) {
    int big = a > b ? a : b;
    int small = a < b ? a : b;
    if (big % small == 0) {
        return small;
    }
    return gcd(small, big % small);
}

{{ select(5) }}

• gcd(24, 36)、gcd(24, 12)、gcd(12, 0)
• gcd(24, 36)、gcd(12, 24)、gcd(0, 12)
• gcd(24, 36)、gcd(24, 12)
• gcd(24, 36)、gcd(12, 24)

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第 6 题

唯一分解定理表明，每个大于 $1$ 的自然数可以唯一地写成若干个质数的乘积。下面函数将自然数 $n$ 的所有质因素找出来，横线上能填写的最佳代码是（ ）。

#include <vector>
vector<int> get_prime_factors(int n) {
    vector<int> factors;
    if (n <= 1) {
        cout << "输入的数必须是大于1的正整数" << endl;
        return;
    }
    while (n % 2 == 0) {
        factors.push_back(2);
        n /= 2;
    }

    // 在此处填入代码
    while (n % i == 0) {
        factors.push_back(i);
        n /= i;
    }

    if (n > 2) {
        factors.push_back(n);
    }
    return factors;
}

{{ select(6) }}

• for (int i = 3; i <= n; i++)
• for (int i = 3; i * i <= n; i++)
• for (int i = 3; i <= n; i += 2)
• for (int i = 3; i * i <= n; i += 2)

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第 7 题

下述代码实现素数表的埃拉托色尼（埃氏）筛法，筛选出所有小于等于 $n$ 的素数。

下面说法，正确的是（ ）。

vector<int> sieve_Eratosthenes(int n) {
    vector<bool> is_prime(n +1, true);
    vector<int> primes;

    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (is_prime[i]) {
            primes.push_back(i);

            for (int j = i * i; j <= n; j += i) {
                is_prime[j] = false;
            }
        }
    }

    for (int i = sqrt(n) + 1; i <= n; i++) {
        if (is_prime[i]) {
            primes.push_back(i);
        }
    }

    return primes;
}

{{ select(7) }}

• 代码的时间复杂度是 $O(n\sqrt{n})$。
• 在标记非素数时，代码从 $i^2$ 开始，可以减少重复标记。
• 代码会输出所有小于等于 $n$ 的奇数。
• 调用函数 sieve_Eratosthenes(10)，函数返回值的数组中包含的元素有：$2$，$3$，$5$，$7$，$9$。

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第 8 题

下述代码实现素数表的线性筛法，筛选出所有小于等于 $n$ 的素数。下面说法正确的是（ ）。

vector<int> sieve_linear(int n) {
    vector<bool> is_prime(n +1, true);
    vector<int> primes;

    for (int i = 2; i <= n/2; i++) {
        if (is_prime[i])
            primes.push_back(i);

        for (int j = 0; j < primes.size() && i * primes[j] <= n; j++) {
            is_prime[ i * primes[j] ] = 0;
            if (i % primes[j] == 0)
                break;
        }
    }

    for (int i = n/2 +1; i <= n; i++) {
        if (is_prime[i])
            primes.push_back(i);
    }

    return primes;
}

{{ select(8) }}

• 线性筛的时间复杂度是 $O(n)$。
• 每个合数会被其所有的质因子标记一次。
• 线性筛和埃拉托色尼筛的实现思路完全相同。
• 以上都不对

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第 9 题

考虑以下 C++ 代码实现的快速排序算法：

以下关于快速排序的说法，正确的是（ ）。

int partition(vector<int>& arr, int left, int right) {
    int pivot = arr[right]; // 基准值
    int i = left - 1;

    for (int j = left; j < right; j++) {
        if (arr[j] < pivot) {
            i++;
            swap(arr[i], arr[j]);
        }
    }
    swap(arr[i + 1], arr[right]);
    return i + 1;
}

// 快速排序
void quickSort(vector<int>& arr, int left, int right) {
    if (left < right) {
        int pi = partition(arr, left, right);
        quickSort(arr, left, pi - 1);
        quickSort(arr, pi + 1, right);
    }
}

{{ select(9) }}

• 快速排序通过递归对子问题进行求解。
• 快速排序的最坏时间复杂度是 $O(n \log n)$。
• 快速排序是一个稳定的排序算法。
• 在最优情况下，快速排序的时间复杂度是 $O(n)$。

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第 10 题

下面关于归并排序，描述正确的是（{{ select(10) }}）。

• 归并排序是一个不稳定的排序算法。
• 归并排序的时间复杂度在最优、最差和平均情况下都是 $O(n \log n)$。
• 归并排序需要额外的 $O(1)$ 空间。
• 对于输入数组 $\{12, 11, 13, 5, 6, 7\}$，代码输出结果为：$7\ 6\ 5\ 13\ 12\ 11$。

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第 11 题

给定一个长度为 $n$ 的有序数组 nums，其中所有元素都是唯一的。下面的函数返回数组中元素 target 的索引。

关于上述函数，描述不正确的是（ ）。

int binarySearch(vector<int> &nums, int target, int left, int right) {
    if (left > right) {
        return -1;
    }

    int middle = left + ((right - left) / 2);
    if (nums[middle] == target) {
        return middle;
    }
    else if (nums[middle] < target) {
        return binarySearch(nums, target, middle + 1, right);
    }
    else
        return binarySearch(nums, target, left, middle - 1);
}

int Find(vector<int> &nums, int target) {
    int n = nums.size();
    return binarySearch(nums, target, 0, n - 1);
}

{{ select(11) }}

• 函数采用二分查找，每次计算搜索当前搜索区间的中点，然后根据中点的元素值排除一半搜索区间。
• 函数采用递归求解，每次问题的规模减小一半。
• 递归的终止条件是中间元素的值等于 target，若数组中不包含该元素，递归不会终止。
• 算法的复杂度为 $O(\log n)$。

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第 12 题

给定一个长度为 $n$ 的有序数组 nums，其中可能包含重复元素。下面的函数返回数组中某个元素 target 的左边界，若数组中不包含该元素，则返回 $-1$。例如在数组 nums = [5,7,7,8,8,10] 中查找 target=8，函数返回 $8$ 在数组中的左边界的索引为 $3$。则横线上应填写的代码为（ ）。

int getLeftBoundary(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0;
    int right = nums.size() - 1;

    while (left < right) {
        int middle = left + ((right - left) / 2);
        if (target <= nums[middle])
            ________________________  // 在此处填入代码
        else
            left = middle + 1;
    }

    return nums[left] == target ? left : -1;
}

{{ select(12) }}

• right = middle - 1;
• right = middle;
• right = middle + 1;
• 以上都不对

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第 13 题

假设有多个孩子，数组 g 保存所有孩子的胃口值。有多块饼干，数组 s 保存所有饼干的尺寸。小杨给孩子们发饼干，每个孩子最多只能给一块饼干。饼干的尺寸大于等于孩子的胃口时，孩子才能得到满足。小杨的目标是尽可能满足越多数目的孩子，因此打算采用贪心算法来找出能满足的孩子的数目，则横线上应填写的代码为（ ）。

int cooki4children(vector<int>& g, vector<int>& s) {
    sort(g.begin(), g.end());
    sort(s.begin(), s.end());

    int index = s.size() - 1; // 饼干数组下标
    int result = 0;
    for (int i = g.size() - 1; i >= 0; i--) {
        if (index >= 0 && s[index] >= g[i]) {
            ________________________  // 在此处填入代码
        }
    }
    return result;
}

{{ select(13) }}

• result++; index--;
• result--; index--;
• result--; index++;
• result++; index++;

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第 14 题

关于分治算法，以下说法中不正确的是（{{ select(14) }}）。

• 分治算法将问题分成子问题，然后分别解决子问题，最后合并结果。
• 归并排序采用了分治思想。
• 快速排序采用了分治思想。
• 冒泡排序采用了分治思想。

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第 15 题

小杨编写了一个如下的高精度减法函数：

下面说法，正确的是（ ）。

vector<int> highPrecisionSubtract(vector<int> a, vector<int> b) {
    vector<int> result;
    int borrow = 0;

    for (int i = 0; i < a.size(); ++i) {
        int digitA = a[i];
        int digitB = i < b.size() ? b[i] : 0;

        int diff = digitA - digitB - borrow;
        if (diff < 0) {
            diff += 10;
            borrow = 1;
        }
        else {
            borrow = 0;
        }

        result.push_back(diff);
    }

    while (result.size() > 1 && result.back() == 0) {
        result.pop_back();
    }

    return result;
}

{{ select(15) }}

• 如果数组 a 表示的整数小于 b 表示的整数，代码会正确返回二者的差为负数。
• 代码假设输入数字是以倒序存储的，例如 $500$ 存储为 $\{0, 0, 5\}$。
• 代码的时间复杂度为 $O(a.size() + b.size())$。
• 当减法结果为 $0$ 时，结果数组仍然会存储很多个元素 $0$。

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第 16 题

单链表只支持在表头进行插入和删除操作（{{ select(16) }}）。

• 正确
• 错误

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第 17 题

线性筛相对于埃拉托斯特尼筛法，每个合数只会被它的最小质因数筛去一次，因此效率更高（{{ select(17) }}）。

• 正确
• 错误

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第 18 题

任何一个大于 $1$ 的自然数都可以分解成若干个不同的质数的乘积，且分解方式是唯一的（{{ select(18) }}）。

• 正确
• 错误

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第 19 题

贪心算法通过每一步选择当前最优解，从而一定能获得全局最优解（{{ select(19) }}）。

• 正确
• 错误

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第 20 题

递归算法必须有一个明确的结束条件，否则会导致无限递归并可能引发栈溢出（{{ select(20) }}）。

• 正确
• 错误

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第 21 题

快速排序和归并排序的平均时间复杂度均为 $O(n \log n)$，且都是稳定排序（{{ select(21) }}）。

• 正确
• 错误

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第 22 题

快速排序的时间复杂度总比插入排序的时间复杂度低（{{ select(22) }}）。

• 正确
• 错误

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第 23 题

二分查找仅适用于数组而不适合链表，因为二分查找需要跳跃式访问元素，链表中执行跳跃式访问的效率低（{{ select(23) }}）。

• 正确
• 错误

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第 24 题

对有序数组 $\{5, 13, 19, 21, 37, 56, 64, 75, 88, 92, 100\}$ 进行二分查找，成功查找元素 19 的比较次数是 2（{{ select(24) }}）。

• 正确
• 错误

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第 25 题

递归函数每次调用自身时，系统都会为新开启的函数分配内存，以存储局部变量、调用地址和其他信息等，导致递归通常比迭代更加耗费内存空间（{{ select(25) }}）。

• 正确
• 错误

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